Проверка статистических гипотез

Доверительный интервал для математического ожидания

В качестве еще 1-го примера разглядим задачку о доверительном интервале для математического ожидания. Пусть проведено n независящих опытов измерения случайной величины Х с неведомым математическим ожиданием mx и дисперсией s2. На основании опытнейших данных Х1, Х2, ... , Хn построим выборочные оценки

Требуется выстроить (отыскать) доверительный интервал le, соответственный доверительной Проверка статистических гипотез вероятности b, для среднего генерального mx.

Потому что среднее выборочное представляет сумму n независящих идиентично распределенных случайных величин то при довольно большенном объеме подборки согласно центральной предельной аксиомы ее закон близок к нормальному. Существует эмпирическое правило, по которому при объеме подборки n ³ 30 выборочное рассредотачивание можем считать Проверка статистических гипотез обычным.

Ранее было показано, что Найдем сейчас такую величину e(b) > 0, для которой производится равенство

Считая случайную величину нормально распределенной, имеем

После подмены имеем

По табличным значениям функции Лапласа Ф*(z) находим аргумент, при котором она равна b. Если этот аргумент обозначить Zb, то тогда

Среднее квадратичное значение приближенно можно поменять

где

Таким макаром Проверка статистических гипотез, доверительный интервал для среднего генерального равен:


le =

Если воспользоваться табличными значениями интеграла вероятностей

то доверительный интервал воспринимает вид

le =

Рассредотачивание Стьюдента

При малом объеме подборки (n < 30) приобретенный доверительный интервал для среднего генерального, использующий обычное рассредотачивание случайной величины , может быть очень грубым.

Для более четкого получения доверительного интервала следует знать закон рассредотачивания случайной величины при Проверка статистических гипотез малом объеме подборки. Для этого воспользуемся последующим результатом. Пусть Х1, Х2, ... , Хn – подборка нормально распределенной случайной величины Х, тогда, как подтверждено, случайная величина

подчиняется рассредотачиванию Стьюдента c n – 1 степенью свободы, плотность рассредотачивания которого имеет вид

где - палитра функция. Эта плотность, как видно из формулы, зависит только от числа опытов n. Ниже Проверка статистических гипотез представлены графики плотностей нормированной (mx = 0, s = 1) нормально распределенной и с рассредотачиванием Стьюдента (n = 4) случайных величин.


обычное рассредотачивание
f

рассредотачивание Стьдента
0,4

0,3

0,2

0,1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t

На основании отысканных можно, пользуясь рассредотачиванием Стьюдента, отыскать доверительный интервал для mx , соответственный доверительной вероятности b. Вправду, потому что то


Пользуясь таблицей значений интеграла

по значению b найдем величину а Проверка статистических гипотез как следует, и сам доверительный интервал le =

Проверка статистических гипотез

Принятие решения о параметрах генеральной совокупы играет только важную роль на практике. Разглядим вопрос о принятии решения на примере. Пусть компания, выпускающая конденсаторы, утверждает, что среднее пробивное напряжение конденсаторов равно либо превосходит 300 В. Испытав 100 конденсаторов, мы получили, что среднее выборочное пробивное Проверка статистических гипотез напряжение равно 290 В, а несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение sn = 40 В. Можно ли с доверительной вероятностью 0,99 утверждать, что среднее пробивное напряжение превосходит 300 В.

Тут нас интересует односторонняя оценка – среднее пробивное напряжение должно превосходить 300 В.

Выскажем статистическую догадку – генеральное среднее mx = 300 В, а потом проверим, соответствует ли она результатам наблюдения Проверка статистических гипотез. Так как объем подборки больше 30, то выборочное среднее можно считать гауссовской случайной величиной с генеральной дисперсией s2 » sn2. Введем центрированную и нормированную величину

Утверждение о том, что среднее выборочное напряжение эквивалентно утверждению, что случайная величина

Найдем возможность того, что гауссовская случайная величина Z с mz = 0 и sz = 1 воспринимает значения больше zo:

Данная Проверка статистических гипотез величина должна приравниваться доверительной вероятности 0,99. Тогда и по таблицам значений функции находим аргумент zo = -2,33. Вычислим сейчас наблюдаемое значение случайной величины Z:

Мы лицезреем, что наблюдаемое значение z = - 2,5 нe принадлежит интервалу [-2,33;¥), потому догадку необходимо отторгнуть.

Приведем пример догадки с обоесторонней оценкой. Пусть компания, выпускающая стабилитроны определенного типа Проверка статистических гипотез, утверждает, что номинальное напряжение стабилизации стабилитронов равно 10 В. Естественно, что отклонение напряжения стабилизации в наименьшую либо огромную стороны идиентично не нужно. Выдвинем догадку, что генеральное среднее напряжение стабилизации равно 10 В, а потом проверим эту статистическую догадку по результатам наблюдения.

Пусть при испытании 100 стабилитронов среднее выборочное равно 10,3 В, а несмещенное Проверка статистических гипотез выборочное среднее квадратичное отклонение равно 1,2 В. Можно ли с доверительной вероятностью 0,95 считать выдвинутую догадку справедливой? Потому что объем подборки больше 30, то можно, как и в прошлом примере, ввести гауссовскую случайную величину Z. Найдем

и приравняем правую часть приобретенного соотношения 0,95. Тогда и zo =1,96. Это означает, что наблюдаемое значение z должно принадлежать Проверка статистических гипотез интервалу (-1,96; 1,96). Так как не попадает в обозначенный интервал, то догадка отвергается.

Если объем подборки n < 30, то случайная величина cчитается стьюденской случайной величиной T. Потому повторяя все обозначенные выше выкладки для проверки статистических гипотез, значения аргумента ищутся для рассредотачивания Стьюдента. При всем этом, потому что "хвосты" стьюденского рассредотачивания по отношению к Проверка статистических гипотез гауссовским удлиняются, доверительные интервалы расширяются, а способности принятия гипотез улучшаются.


Функция риска


proverka-prochnosti-balki-iz-hrupkogo-materiala.html
proverka-provodov-vibrannoj-kontaktnoj-podveski-na-nagrevanie-ipo-dopustimoj-potere-napryazheniya.html
proverka-rabotosposobnosti-gazoanalizatorov.html